Wie wirkt sich eine Änderung der Leitfähigkeit auf den Messwert aus? \[S(\vb r)=\pdv{\rho_a}{\rho(\vb r)}\]
\[\div((\sigma+\delta\sigma)\grad (u+\delta u))=0\]
\[\div(\sigma\grad u)+\div(\delta\sigma\grad u)+\div(\sigma\grad \delta u)+\div(\delta\sigma\grad \delta u)=0\]
\[\Rightarrow S(\vb r)=\frac{k}{\rho^2} \frac{\grad u^{AB}}{I^{AB}} \frac{\grad u^{MN}}{I^{MN}}= \frac{k}{4\pi^2} \qty(\frac{\vb r_A}{r_A^3}-\frac{\vb r_B}{r_B^3})\qty(\frac{\vb r_M}{r_M^3}-\frac{\vb r_N}{r_N^3})\]
Wenner-Messung (A-M-N-B) mit flacher Einlagerung
Einstieg siehe Notebook
\[\Rightarrow \div(\sigma\vb E)=-\div(\sigma\grad U)=0\] 
Brechungsgesetz:
Stetigkeit von
“Bewegung” einer festen Anordnung entlang eines Profils
Vergrößerung der Auslage bei festem Mittelpunkt
Kombination aus Kartierung und Sondierung, meist bei festem Aufbau einer Elektrodenkette (Multielektroden-Geoelektrik): Electrical Resistivity Tomography (ERT)
\(j_x=\sigma\pdv{u}{x}=-\frac{I}{2\pi}\pdv{x} (\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B})\)
in der Mitte (\(r_A=r_B\), AB=\(L\)): \[j_x=\frac{I}{2\pi} \frac{L}{(z^2+L^2/4)^{3/2}}\]
zL = np.arange(0, 3, .01)
jx = 1/(zL**2+0.25)**1.5/2/np.pi
sumjx = np.cumsum(jx)
plt.plot(zL, jx/jx[0], label="jx")
plt.plot(zL, sumjx/sumjx[-1], label="sum")
plt.legend()
plt.xlabel("z/L")
plt.ylabel(r"$j_x$/$\Sigma j_x$ (normalized)")
plt.grid()
\[\frac{I_x}{I}(z)=\frac{L}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{dy}{(y^2+z^2+L^2/4)^{3/2}}\]
\[\frac{I_x}{I}(z)=\frac{2}{\pi}\arctan\frac{2z}{L} \] - Hälfte des Gesamtstroms fließt zwischen Oberfläche und L/2
plt.plot(zL, np.arctan(2*zL)*2/np.pi)
plt.xlabel("z/L")
plt.grid()
