Eine Tiefensondierung erreicht man, indem man am gleichen Mess-Mittelpunkt die Elektrodenabstände (z.T. nur die der Stromelektroden) sukzessive erhöht. Die dafür meist eingesetzte Anordnung ist die Schlumberger-Anordnung. Dabei bleiben die Spannungselektroden konstant und die beiden Stromelektroden entfernen sich vom Mittelpunkt immer weiter.
\(j_x=\sigma\pdv{u}{x}=-\frac{I}{2\pi}\pdv{x} (\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B})\)
in der Mitte (\(r_A=r_B\), AB=\(L\)): \[j_x=\frac{I}{2\pi} \frac{L}{(z^2+L^2/4)^{3/2}}\]
zL = np.arange(0, 3, .01)
jx = 1/(zL**2+0.25)**1.5/2/np.pi
sumjx = np.cumsum(jx)
plt.plot(zL, jx/jx[0], label="jx")
plt.plot(zL, sumjx/sumjx[-1], label="sum")
plt.legend()
plt.xlabel("z/L")
plt.ylabel(r"$j_x$/$\Sigma j_x$ (normalized)")
plt.grid()
Wenn wir nun die horizontale Stromdichte über die y-Achse (in die Tafelebene hinein) aufintegrieren, erhalten wir \[\frac{I_x}{I}(z)=\frac{L}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{dy}{(y^2+z^2+L^2/4)^{3/2}}\]
\[\frac{I_x}{I}(z)=\frac{2}{\pi}\arctan\frac{2z}{L} \] - Hälfte des Gesamtstroms fließt zwischen Oberfläche und L/2
plt.plot(zL, np.arctan(2*zL)*2/np.pi)
plt.xlabel("z/L")
plt.grid()
Die 1D Sensitivitätsfunktion für eine Pol-Pol-Messung (Günther 2004) \[ s(z) = \frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}^3} \] und damit für eine Vier-Punkt-Messung \[ s(z) = \frac{z}{\sqrt{AM^2+z^2}^3} - \frac{z}{\sqrt{BM^2+z^2}^3} - \frac{z}{\sqrt{AN^2+z^2}^3} + \frac{z}{\sqrt{BN^2+z^2}^3} \]
Für eine Schlumberger-Sondierung gilt \(AM=BN=AB/2-MN/2\) und \(AN=BM=AB/2+MN/2\) \[ s(z) = 2\frac{z}{\sqrt{(AB/2-MN/2)^2+z^2}^3} - 2\frac{z}{\sqrt{(AB/2+MN/2)^2+z^2}^3} \]
