Über Transmitter TX (Spule, geerdetes Kabel) wird Feld angekoppelt.
Primäres, zeitlich variables Magnetfeld induziert im Leiter Wirbelströme. Diese besitzen wiederum ein Magnetfeld, das sich in Stärke, Richtung und Phase vom primären Feld unterscheidet.
Wir messen \(\vb B\) im Receiver RX als Funktion von Frequenz und Transmitter-Receiver-Abstand (Offset).
Frequenz und Offset sind technische Sondierungsparameter, die gesteuert werden können in Abhängigkeit von
In Abhängigkeit von der geophysikalischen Fragestellung sind zwei methodische Varianten in Verwendung:
Kartierung durch Bewegung von TX und RX entlang eines Profils oder auf einer Fläche unter Beibehaltung des Abstandes (TX-RX-Offset) Sondierung durch Veränderung von Frequenz und/oder Offset.
Es gibt auch Varianten, die eine Kombination von Kartierung und Sondierung realisieren (Beispiel: Aero-EM)
Wir unterscheiden zwei grundsätzliche Varianten:
Unterschiedliche Transmitter-Receiver-konfigurationen bewirken unterschiedliche
Für die Apparatur EM-34 gelten die folgenden Abschätzungen für die Tiefenreichweite (in Metern) bei typischen Offset-Frequenz-Konfigurationen:
| r in m | VCP | HCP | f in Hz |
|---|---|---|---|
| 10 | 6-7.5 | 12-15 | 6400 |
| 20 | 12-15 | 25-30 | 1600 |
| 40 | 24-30 | 50-60 | 400 |
Produkt aus \(\omega\) und \(r^{2}\) ist konstant. \[ \omega r^{2} = \text{const} \] Induktionszahl:
\[ |k|r = \sqrt{\omega \mu_{0} \sigma } r \]
Es gilt die LIN- oder low induction number-Näherung, wenn \(|k|r \ll 1\)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
sigma = np.logspace(-5, 0, 51)
f = [400, 1600, 6400]
r = [40, 20, 10]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.loglog(1 / sigma, [np.abs(np.sqrt(-1j* 2 * np.pi * f[0] * np.pi * 4e-7 * s)) * r[0] for s in sigma])
ax.set_xlabel(r"$\rho$ in $\Omega \cdot$m")
ax.set_ylabel(r"$|k|r$")
ax.grid(alpha=0.4)
Die Apparatur EM-34 berechnet intern die scheinbare Leitfähigkeit auf Grundlage der LIN-Näherung:
\[ \sigma_s = \frac{4}{\omega\mu_0 r^2} \,\mathrm{imag}\left ( \frac{H}{H_0} \right) \]
Wir rechnen mit empymod nach.
import empymod
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def VCP(res, freq, offset, height):
src = [0, 0, -height, 90, 0]
rec = [offset, 0, -height, 90, 0]
depth = 0.0
inp = {'src': src, 'rec': rec, 'depth': depth, 'res': [2e20, res],
'freqtime': freq, 'verb': 1, 'xdirect': True}
fhz_num = empymod.loop(**inp)
return fhz_num
def rhoa(H, offset, freq):
omega = 2 * np.pi * freq
hz_air = -1.0 / (4 * np.pi * offset**3)
sig = 4 / (omega * mu0 * offset**2) * np.imag(H / hz_air)
return 1 / sig
mu0 = np.pi * 4e-7offset = 10.0
freq = 6400.0
h = 0.0
rho = 500.0
H = VCP(rho, freq, offset, h)
print(f"rhoa = {rhoa(H, offset, freq):.2f}")rhoa = 520.19RHO = np.logspace(0, 4, 41)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.loglog(RHO, [rhoa(VCP(v, freq, offset, h), offset, freq) for v in RHO], label="LIN")
ax.loglog(RHO,RHO, label="true")
ax.set_title("Scheinbarer spezifischer Widerstand eines \n homogenen Halbraums berechnet aus LIN-Näherung")
ax.set_xlabel(r"$\rho$ in $\Omega\cdot$m")
ax.set_ylabel(r"$\rho_{s}$ in $\Omega\cdot$m")
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.5)
Wir stellen die Magnetfeldresponse eines VMD über einem homogenen Halbraum dar. Variiert wird hier nur die Leitfähigkeit, während die Frequenz konstant gehalten wird.
Wir beobachten einen typischen Verlauf von Real- und Imaginärteil.
Für die Kalibrierung der scheinbaren Leitfähigkeit bei der Anzeige der Messwerte wird folgendes ausgenutzt:
data = np.array([VCP(1 / s, freq, offset, h) for s in sigma])
Hz0 = -1.0 / (4 * np.pi * offset**3)
kr = np.array([np.abs(np.sqrt(-1j* 2 * np.pi * freq * np.pi * 4e-7 * s)) * offset for s in sigma])
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.set_xlabel("|k|r")
ax.set_ylabel(r"$H_{z}$ in A/m")
ax.loglog(kr, np.abs(np.real(data)), label="Re")
ax.loglog(kr, np.abs(np.imag(data)), label="Im")
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.5)
| DIGHEM | |
|---|---|
| Aufgabe | Bestimmung der elektrischen Leitfähigkeit bis zu Tiefen von eta 150 m |
| Abstand TX-RX | 7.9 bis 8.0 (für jede Frequenz verschieden) |
| Frequenzen in Hz | 375, 1778, 8510, 37830, 129000 |
| Spulenkonfiguration | HCP |
| Hersteller | Fugro Airborne Survey (Kanada) |
| Sensorhöhe | 30 m |
| Fluggeschwindigkeit | 140 km/h |
| Abtastrate | 10 Hz |
| Räumliches Abtastintervall | 4 m |
| Weitere Messgeräte | Cs-Magnetometer Geometrics (USA) |
| davon im Hubschrauber | Gammastrahlen-Spektrometer, DGPS, Höhenmesser |
Nach Kompensation (Auslöschung des Primärfeldes im RX) misst RX nur das sekundäre Magnetfeld \(\vb{H}_{s}\).
In HCP-Konfiguration beträgt das Vakuum-Feld im RX im Abstand \(r\) vom TX \[ H_{0}(r) = - \frac{1}{4 \pi r^{3}}. \] Das im RX gemessene Vertikalfeld ist damit \[ H_{s}(\omega) = \vb{H}(\omega)\cdot \vb{e}_{z} - {H}_{0} = H_{z}(\omega) - H_{0} \]
Das komplexwertige kompensierte Magnetfeld wird auf das Vakuumfeld normiert und in Real- und Imaginärteil zerlegt.
Rechnerisch: \[ \frac{H_{s}}{H_{0}} = \frac{\mathrm{Re}(H_{z}) + i \mathrm{Im}(H_{z}) - H_{0}}{H_{0}} \]
\[ \overline R = \mathrm{Re} \left( \frac{H_{s}}{H_{0}} \right) = \frac{\mathrm{Re}(H_{z})}{H_{0}}-1 , \qquad \overline Q = \mathrm{Im} \left( \frac{H_{s}}{H_{0}} \right) = \frac{\mathrm{Im}(H_{z})}{H_{0}} \] In der Praxis werden diese Größen in ppm (parts per million, \(10^{-6}\)) dargestellt: \[ R := \overline R \times 10^{6}, \qquad Q := \overline Q \times 10^{6} \] R: Realteil oder real part
Q: Imaginärteil oder quadrature part
empymodWir erstellen synthetische Datensätze für eine horizontal-koplanare Spulenaufstellung. Der Spulenabstand beträgt 8 m. Die diskreten Frequenzen sind \[ f \in (387, 1820, 8225, 41550, 133200) \text{ Hz.} \] Die spezifischen Widerstände der 4 Schichten sind \[ \rho \in ([50, 200], 100, 5, 1000) ~ \Omega\cdot m, \] ihre Mächtigkeiten betragen \[ h \in (20, 30, 10) ~m. \]
In der Aero-Elektromagnetik werden die Messwerte in folgender Weise dargestellt: \[ \begin{align} R & = 10^6 \cdot \frac{\mathrm{Re}(H_z - H_z^0)}{H_z^0} = 10^6 \cdot \left(\frac{\mathrm{Re}(H_z)}{H_z^0}-1\right) \\ Q & = 10^6 \cdot \frac{\mathrm{Im}(H_z - H_z^0)}{H_z^0} = 10^6 \cdot \frac{\mathrm{Im}(H_z)}{H_z^0} \end{align} \]
offset = 8
src = [0, 0, -30, 0, 90]
rec = [offset, 0, -30, 0, 90]
depth = [0, 20, 50, 60]
res = [2e14, 200, 100, 5, 1000]
# res = [2e14, 50, 100, 5, 1000]
freq = [387, 1820, 8225, 41550, 133200]
inp = {'src': src, 'rec': rec, 'depth': depth, 'res': res,
'freqtime': freq, 'verb': 0}
fhz_num = empymod.loop(**inp)
hz_air = -1.0 / (4 * np.pi * offset**3)
Z = fhz_num / hz_air
R_ppm = 1e6 * (np.real(Z) - 1)
Q_ppm = 1e6 * np.imag(Z)def pos(data):
"""Return positive data; set negative data to NaN."""
return np.array([x if x > 0 else np.nan for x in data])
def neg(data):
"""Return -negative data; set positive data to NaN."""
return np.array([-x if x < 0 else np.nan for x in data])
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4))
plt.plot(freq, pos(fhz_num.real), 'C0-', label='Real')
plt.plot(freq, neg(fhz_num.real), 'C0--')
plt.plot(freq, pos(fhz_num.imag), 'C1-', label='Imaginary')
plt.plot(freq, neg(fhz_num.imag), 'C1--')
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlim([1e2, 1e6])
# plt.ylim([1e-12, 1e-6])
plt.xlabel('FREQUENCY (Hz)')
plt.ylabel('$H_z$ (A/m)')
plt.legend()
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(alpha=0.5)
plt.tight_layout()
plt.show()
plt.scatter(freq, R_ppm, label='R')
plt.scatter(freq, Q_ppm, label='Q')
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlim([1e2, 1e6])
plt.ylim([1e1, 1e4])
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xlabel('FREQUENCY (Hz)')
plt.ylabel('R, Q in ppm')
plt.tight_layout()
plt.show()
